Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar
sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan
skilgreind sem
, þar sem
er
og
og
eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum
, og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:
![{\displaystyle \mathbb {C} =\left\{(x+iy)|x,y\in \mathbb {R} \land i^{2}=-1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2678b727a812c98c93a647e3a75304d556da8448)
Breyturnar
og
í tvinntölunni
eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum,
, en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu
og fastann
. Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.
Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í
eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í
). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.
Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem
og
:
- Samsemd:
þ.þ.a.a.
og ![{\displaystyle y_{1}=y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4466be31dc1d05273fb6c4e7847f40f7256b08)
- Samlagning:
![{\displaystyle z+w=\left(x_{1}+y_{1}i\right)+\left(x_{2}+y_{2}i\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(y_{1}+y_{2}\right)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da5e9f4b7d438ea74e1fbe9653d1605b3a17340)
- Margföldun:
![{\displaystyle zw=\left(x_{1}+y_{1}i\right)\left(x_{2}+y_{2}i\right)=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\right)+\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f6c41e08d3aadd3c7843b34eabb6432fbf4445)
- Deiling:
![{\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {z{\bar {w}}}{|w|^{2}}}={\frac {\left(x_{1}+y_{1}i\right)\left(x_{2}-y_{2}i\right)}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61c71ffcef0d446fca6ec894b476a8a2113012d)
- Margföldunarandhverfa: Ef
eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:
eða ![{\displaystyle w={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6842c8697320d7307531313a47224802c71416e2)
Ef
er talan
sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:
![{\displaystyle z+{\bar {z}}=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174197ce4f3d89fb89f2c769702f65c4e6cc895f)
![{\displaystyle z-{\bar {z}}=2yi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbabe57f118d948621822c58536578b21246d87)
![{\displaystyle z{\bar {z}}=|z|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8981412aa2c1e9ccd1de33448e022cc6310157eb)
![{\displaystyle {\frac {z}{\bar {z}}}={\frac {z^{2}}{|z|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd03a93465bc3c2d203c921b14e0f0652460ee46)
Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar
er notað fallið
og er það skilgreint svo:
![{\displaystyle \Re \left(z\right)=x={\frac {1}{2}}\left(z+{\bar {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eeade35f4cb628b1422b9682e3ab150d1a4047)
Fyrir þverhlutann er fallið
notað, en skilgreining þess er:
![{\displaystyle \Im \left(z\right)=y={\frac {1}{2i}}\left(z-{\bar {z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f2c328dc9eab1fccc262bd7b38af6321a66375)
Í stað
og
er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að
gefur rauntöluna
, ekki þvertöluna
.
Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:
![{\displaystyle u=p+iq,\ |u|={\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab114ec932561da589f120794b80206b331e877)
Pólhnit eru á forminu
, þar sem að
lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og
lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan
fyrir tvinntöluna ![{\displaystyle x+yi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21e83615ab4f0b0dc3c3e8f285d92e82faf7095)
Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:
![{\displaystyle x=r\cdot \cos \left(\theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e208b5d64d2bfd7c104ee0cbbb7b64ada088d2)
![{\displaystyle y=r\cdot \sin \left(\theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ced4af5611412f356fa47ce7128abf37bbe7a45)
Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:
![{\displaystyle \left(r\left(\cos \left(\theta \right)+i\cdot \sin(\theta \right)\right)^{n}=r^{n}\left(\cos \left(n\theta \right)+i\sin \left(n\theta \right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc42c5cc788ba349d5bc97e1a08801886d171a40)
Margföldun og deiling virka þannig:
![{\displaystyle \left(a,\alpha \right)\left(b,\beta \right)=\left(a\cdot b,\alpha +\beta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229056eea51188babddf0bddb17aa922bc2449cc)
![{\displaystyle {\frac {\left(a,\alpha \right)}{\left(b,\beta \right)}}=\left({\frac {a}{b}},\alpha -\beta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d109ac6eee9baccb101a63b318fb418fa55fc2c2)
og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:
![{\displaystyle (r,\theta )^{n}=(r^{n},n\cdot \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7cbe58a750e4355f9a485b6b9078f27eff4151)
Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:
![{\displaystyle {\sqrt {(r,\theta )}}=(r,\theta )^{\frac {1}{2}}=({\sqrt {r}},{\frac {\theta }{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5477f7546f0b568f67bf73982637ba4f1b7eb2)
Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e.
þar sem að z er tvinntala.
![{\displaystyle z=x+yi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639f77c05613faa61f43ee28a4d5ca7c35fffa38)
![{\displaystyle e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}\cdot e^{yi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b3b3c3b496e67a07ab8d3789daa80218b70261)
Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu
, en um þverhlutann gildir að
![{\displaystyle e^{yi}=cos(y)+isin(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbf31cbc089a8fa5a4e9eedd9bedb58b801ae40)
Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að
![{\displaystyle z=r\cdot \left(\cos(\theta )+i\sin(\theta )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6205b9fd186ecceb82e0efdbf1b15df8d9d7888a)
- má segja að:
![{\displaystyle z=x+iy=(r,\theta )=re^{i\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e1574baa0b60c2de49af7879ac5b2f0e064b11)
Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:
![{\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}\cdot e^{i\phi _{1}+i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}\cdot e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8c0c935d00b0012c73e186fd65f928e2b3bb11)
Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu:
![{\displaystyle e^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )\land e^{-i\phi }=\cos(\phi )-i\sin(\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ac2efe7281cc718a5d39a3b74f4f2ff29d2d72)
![{\displaystyle \cos(\phi )={\frac {e^{i\phi }+e^{-i\phi }}{2}}\land \sin(\phi )={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e1299cbdbf98a6040c7107f65d007c1586b00b)